Учебная работа. Реферат: Математические модели и методы их расчета
1. понятие операционного исследования
Bпервые математические модели были применены для решения практической задачки в 30-х годах в Англии при разработке системы противовоздушной обороны. Для разработки данной системы были привлечены ученые разных специальностей. Система создавалась в критериях неопределенности относительно вероятных действий противника, потому исследования проводились на адекватных математических моделях. В это время в первый раз был использован термин: «операционное исследование», подразумевающий исследования военной операции. В следующие годы операционные исследования либо исследования операций развиваются как наука, результаты которой используются для выбора хороших решений при управлении настоящими действиями и системами.
Решения человек воспринимал постоянно и во всех сферах собственной деятель. Ранее желали, чтоб принимаемые решения постоянно были правильными. сейчас принято гласить, что решения должны быть хорошими. Чем труднее объект управления, тем сложнее принять решение, и, как следует, тем легче допустить ошибку. Вопросцам принятия решений на базе внедрения ЭВМ и математических моделей посвящена новенькая наука «Исследование операций», приобретающая в крайние годы все наиболее пространное поле приложений. Эта наука сравнимо юная, ее границы и содержание недозволено считать верно определенными.
Предмет под заглавием «Исследование операций» заходит в программку элитарных вузов, но не постоянно в этот термин вкладывается одно и то же содержание. Некие ученые под «исследованием операций» соображают, основным образом, математические способы оптимизации, такие как линейные, нелинейные, динамическое программирование. Остальные к исследованию операций подступают с позиции теории игр и статистических решений. В конце концов, некие ученые вкладывают в понятие «исследование операций» чрезвычайно широкий смысл, считая ее основой системного анализа и «наукой наук».
Под термином «исследование операций» мы будем осознавать применение математических, количественных способов для обоснования решений во всех областях целенаправленной людской деятель.
совсем термин «исследование операций» закрепился в конце 2-ой мировой войны, когда в вооруженных силах США
Чтоб человеку принять решение без ЭВМ , часто ничего не нужно, не считая опыта и интуиции. правда, никакой гарантии корректности, а тем наиболее оптимальности при всем этом нет. Подчеркнем, что ЭВМ никаких решений не воспринимает. Решение воспринимает человек (ЛПР). А ЭВМ лишь помогает отыскать варианты решений. Обязательное присутствие человека (как окончательный инстанции принятия решений) не отменяется даже при наличии вполне автоматической системы управления. Недозволено забывать о том, что само создание управляющего метода, выбор 1-го из вероятных его вариантов, есть тоже решение. По мере автоматизации управления функции человека передвигаются с 1-го уровня управления на иной — высший. Главные этапы решения задачки принятия хороших решений при помощи ЭВМ показаны на Рис. 1.
Начальные
данные
объект
Задачка
Модель
Метод
программка
ЭВМ
Пакет прикладных программ (ППП)
Решение
Рис. 1. Главные этапы решения задачки принятия решения при помощи ЭВМ .
Выбор задачки — важный вопросец. Какие главные требования обязана удовлетворять задачка? Таковых требований два:
обязано существовать, как минимум, два варианта ее решения (ведь если вариант один, означает и выбирать не из чего же);
нужно верно знать в котором смысле разыскиваемое решение обязано быть лучшим (кто не понимает, куда ему плыть — тому нет и попутного ветра).
Выбор задачки заканчивается ее содержательной постановкой. Когда делается содержательная постановка задачки, к ней привлекаются спецы в предметной области. Они отлично знают собственный определенный предмет, но не постоянно представляют, что требуется для формализации задачки и представления ее в виде математической модели.
Неплохую модель составить не попросту. Узнаваемый математик Р.Беллман произнес так: «Если мы попытаемся включить в нашу модель очень много черт реальности, то захлебнемся в сложных уравнениях; если очень упростим ее, то она не станет удовлетворять нашим требованиям». Таковым образом, исследователь должен пройти меж западнями Переупрощения и болотом Переусложнения. Для выполнения фуррора моделирования нужно выполнить три правила, которые, по воззрению старых, являются признаками мудрости. Эти правила применительно к задачкам математического моделирования и формулируются так: учитывать главные характеристики моделируемого объекта; третировать его второстепенными качествами; уметь отделить главные характеристики от второстепенных.
Составление модели — это Искусство, творчество. Античные гласили: «Если двое глядят на одно и то же, это не значит, что оба лицезреют одно и то же». И слова старых греков: «Если двое делают одно и то же, это не означает, что получится одно и то же». Эти слова полностью относятся к составлению математических моделей. Если математическая модель — это диагноз метод — это способ исцеления.
Можно выделить последующие главные этапы операционного исследования:
наблюдение явления и сбор начальных данных;
постановка задачки;
построение математической модели;
расчет модели;
тестирование модели и анализ выходных данных. Если приобретенные результаты не удовлетворяют исследователя, то следует или возвратиться на шаг 3, т.e. предложить для решения задачки другую математическую модель; или возвратиться на шаг 2, т.e. поставить задачку наиболее корректно;
применение результатов исследовательских работ.
Таковым образом, операционное исследование является итерационным действием, любой последующий шаг которого приближает исследователя к решению стоящей перед ним трудности. В центре операционного исследования находятся построение и расчет математической модели.
Математическая модель — это система математических соотношений, приближенно, в абстрактной форме описывающих изучаемый процесс либо систему.
Экономико-математическая модель — это математическая модель, созданная для исследования экономической трудности.
Проведение операционного исследования, построение и расчет математической модели разрешают проанализировать ситуацию и избрать рациональные решения по управлению ею либо доказать предложенные решения. Применение математических моделей нужно в тех вариантах, когда неувязка сложна, зависит от огромного числа причин, по-разному влияющих на ее решение.
Внедрение математических моделей дозволяет выполнить подготовительный выбор хороших либо близких к ним вариантов решений по определенным аспектам. Они научно обусловлены, и лицо, принимающее решение, может управляться ими при выбирании окончательного решения. Следует осознавать, что не существует решений, хороших «совершенно». Хоть какое решение, приобретенное при расчете математической модели, нормально по одному либо нескольким аспектам, предложенным постановщиком задачки и исследователем.
В истинное время математические модели используются для анализа, прогнозирования и выбора хороших решений в разных областях экономики. Это планирование и оперативное управление созданием, управление трудовыми ресурсами, управление припасами, распределение ресурсов, планировка и размещение объектов, управление проектом, распределение инвестиций и т.п.
2. систематизация и принципы построения математических моделей
Можно выделить последующие главные этапы построения математической модели:
Определение цели, т.e. чего же желают достигнуть, решая поставленную задачку.
Определение пapaметров модели, т.е. заблаговременно узнаваемых фиксированных причин, на значения которых исследователь не влияет.
Формирование управляющих переменных, изменяя значения управляющих переменных являются решениями задачки.
Определение области допустимых решений, т.е. тех ограничений, которым должны удовлетворять управляющие переменные.
Выявление неведомых причин, т.е. величин, которые могут изменяться случайным либо неопределенным образом.
Выражение цели через управляющие переменные, характеристики и неведомые причины, т.e. формирование мотивированной функции, именуемой также аспектом эффективности либо аспектом оптимальности задачки.
Введем последующие условные обозначения:
— характеристики модели;
x — управляющие переменные либо решения;
X — область допустимых решений;
— случайные либо неопределенные причины;
W — мотивированная функция либо аспект эффективности (аспект оптимальности).
W=W (x, , )
В согласовании с введенными определениями, математическая модель задачки имеет последующий вид:
W=W (x, , ) max (min) (2.1)
x X
Решить задачку — это означает отыскать такое наилучшее решение xX, чтоб при данных фиксированных параметрах и с учетом неведомых причин значения аспекта эффективности W было по способности наибольшим (наименьшим).
W=W (x, , ) = max (min) W (x, , )
x X
Таковым образом, наилучшее решение — это решение, предпочтительное перед иными по определенному аспекту эффективности (одному либо нескольким).
Перечислим некие главные принципы построения математической модели:
нужно соизмерять точность и подробность модели, во-1-х, с точностью тex начальных данных, которыми располагает исследователь, и, во-2-х, с теми плодами, которые требуется получить.
Математическая модель обязана отражать значительные черты исследуемого явления и при всем этом не обязана его очень упрощать.
Математическая модель не быть может вполне адекватна реальному явлению, потому для его исследования лучше применять несколько моделей, для построения которых использованы различные математические способы. Если при всем этом получаются схожие результаты, то исследование завершается. Если результаты очень различаются, то следует пересмотреть постановку задачки.
Неважно какая непростая система постоянно подвергается малым наружным и внутренним действиям, как следует, математическая модель обязана быть устойчивой (сохранять характеристики и структуру при этих действиях).
По числу критериев эффективности математические модели делятся на однокритериальные и многокритериальные. Многокритериальные математические модели содержат два и наиболее аспекта.
По учету неведомых причин математические модели делятся на детерминированные, стохастические и модели с элементами неопределенности.
В стохастических моделях неведомые причины — это случайные величины, для которых известны функции распределения и разные статистические свойства (математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратическое отклонение и т.п.). Посреди стохастических черт можно выделить:
— модели стохастического программирования, в каких или в мотивированную функцию (2.1), или в ограничения (2.2) входят случайные величины;
— модели теории случайных действий, созданные для исследования действий, состояние которых в любой момент времени является случайной величиной;
— модели теории массового обслуживания, в какой изучаются многоканальные системы, занятые обслуживанием требований. Также — к стохастическим моделям можно отнести модели теории полезности, поиска и принятия решений.
Для моделирования ситуаций, зависящих от причин, для которых нереально собрать статистические данные и значения которых не определены, употребляются модели с элементами неопределенности.
В моделях теории игр задачка представляется в виде игры, в какой участвуют несколько игроков, преследующих различные цели, к примеру, компанию компании в критериях конкуренции.
В имитационных моделях настоящий процесс разворачивается в машинном времени, и выслеживаются результаты случайных действии на него, к примеру, организация производственного процесса.
В детерминированных моделях неведомые причины не учитываются. Невзирая на кажущуюся простоту этих моделей, к ним сводятся почти все практические задачки, в том числе большая часть экономических задач. По виду мотивированной функции и ограничений детерминированные модели делятся на: линейные, нелинейные, динамические и графические.
В линейных моделях мотивированная функция и ограничения линейны по управляющим переменным. Построение и расчет линейных моделей являются более развитым разделом математического моделирования, потому нередко к ним стараются свести и остальные задачки или на шаге постановки, или в процессе решения. Для линейных моделей хоть какого вида и довольно большенный размерности известны обычные способы решения.
Hелинейные модели — это модели, в каких или мотивированная функция, или какое-нибудь из ограничений (или все ограничения) нелинейны по управляющим переменным. Для нелинейных моделей нет одного способа расчета. Зависимо от вида нелинейности, параметров функции и ограничений можно предложить разные методы решения. Но может случится и так, что для поставленной нелинейной задачки совершенно не существует способа расчета. В этом случае задачку следует упростить, или сведя ее к известным линейным моделям, или просто линеаризовав модель.
В динамических моделях, в отличие от статических линейных и нелинейных моделей, учитывается фактор времени. Аспект оптимальности в динамических моделях быть может самого вида (и даже совершенно не быть функцией), но для него должны производиться определенные характеристики. Расчет динамических моделей сложен, и для каждой определенной задачки нужно разрабатывать особый метод решения.
Графические модели — употребляются тогда, когда задачку комфортно представить в виде графической структуры.
]]>