Учебная работа. Реферат: Фракталы и автоколебания в геоморфосистемах
Институт оптического мониторинга СО ран, Томск
Развитие целостных систем, независимо от их природы, обеспечивается за счет поступления энергии и вещества из среды и выделения их в среду. Динамика различия расходов вещества и энергии в этих 2-ух потоках в течение времени и описывает развитие системы, а установление баланса вещества и энергии на входе и выходе системы охарактеризовывает ее динамически сбалансированный режим. Таковым образом, формирование, развитие и самоорганизация целостных систем осуществляется через диалектическое взаимодействие 2-ух потоков вещества и энергии обратной направленности.
Потоки энергии и вещества, формирующие природные системы, названы [1, 2] F-потоками, а потоки, вызывающие их деградацию, — D-потоками. действие F-потоков, формирующих систему, необратимо ориентировано к росту характеристик, характеризующих систему: размеры, размер, а действие D-потоков приводит к их уменьшению [1, 2]. Величина D-потока (расход энергии и вещества в нем) однообразно зависит от характеристик системы: чем больше размеры системы, создающейся вследствие деяния F-потока, тем больше величина D-потока; и напротив, с уменьшением размеров системы миниатюризируется и величина D-потока.
Рост размеров систем, по мере приближения к своим предельным чертам, асимптотически затухает, в силу того, что величина расхода в D-потоке стремится к такой в F-потоке. На теоретическом уровне в конечном варианте развития системы должен устанавливаться баланс расходов вещества и энергии в обоих потоках, характеризующий состояние динамического (термодинамического) равновесия, либо предельного цикла системы. Фактически же, в силу повсевременно меняющихся критерий равзития системы и, как следует, конфигурации расходов вещества в F- и D-потоках, это состояние никогда не достигается, при беспристрастном к нему стремлении.
Фракталы в геоморфосистемах. В геоморфосистемах роль F-потока играет эндогенный поток вещества, создающий первичную наклонную поверхность. Она подвергается эрозионному расчленению, в итоге чего же создается экзогенный литопоток вещества (D-поток) и формируются склоны 2-ой генерации. Эти склоны опять расчленяются, с образованием склонов следующей генерации, и так дальше. При всем этом крутизна склонов следующей генерации вырастает последующим образом:
где a — крутизна склона; j – уклон тальвега, базиса эрозии.
Так как рельеф в процессе эрозионного расчленения сохраняет подобие, то его можно считать фрактальным.
Разглядим пример геоморфологического фрактального огромного количества. Его построение начинается с равнобедренного треугольника с углом при основании 
— это 0-е поколение. Дальше на каждой боковой стороне строится равнобедренный треугольник с таковым же углом. В итоге выходит последующее поколение. При нескончаемом повторении этого процесса получим фрактальное огромное количество.
Принципиальным свойством фрактальных множеств является дробная размерность. По определению, размерность Хаусдорфа равна D=log(N)/log(f), где N — число частей, а f указывает, во сколько раз целое больше части. Потому что при построении фрактальной поверхности рельефа на любом следующем шаге площадь треугольника, характеризующего поперечное сечение формы рельефа, в 4 cos2
(α) меньше площади предшествующей формы, из которой он получен, то для него N = 2, f = 
и, как следует, размерность D Хаусдорфа приобретенного огромного количества равна D = log(2)/log
.
Рис. 1. Фрактальная черта эрозионно расчленного рельефа из 7 поколений огромного количества
Вследствие фрактального нрава процесса эрозионного расчленения, площадь поверхности рельефа можно отыскать по формуле:
, (1)
где 
— площадь поверхности формы рельефа, не подвергшейся эрозионному расчленению, величина m>1 зависит от размерности границы поверхности.
Таковым образом, процесс эрозионного расчленения и роста площади поверхности, а как следует, и денудации является нелинейным, и в силу этих обстоятельств в геоморфосистеме появляются автоколебания.
Механизм появления автоколебаний в геоморфосистемах. Возникновение F-потока вещества и формирование системы вызывает через некое время возникновение D-потока. С ростом размеров системы мультипликативно наращивается и D-поток (за счет роста площади S поверхности). Когда величина D-потока превзойдет величину F-потока, рост размеров системы (размера, высоты и пр.) закончится и начнется их уменьшение. По мере уменьшения размеров системы будут понижаться расходы вещества и в D-потоках. Когда его величина станет меньше расходов в F-потоке, опять начнется рост размеров системы. Таковым образом, динамика системы имеет колебательный нрав. Отметим, что обычно, вследствие разных обстоятельств, система «проскакивает» положение равновесия (другими словами момент равенства F и D-потоков), и в ней появляются автоколебания даже при неизменной величине F-потока.
метод формирования рельефа [3] представлен в блок-схеме (рис. 2).
Рис. 2. блок-схема метода формирования рельефа в итоге взаимодействия F- и D-потоков V-объём вещества, заключённого в формах рельефа; P и Q — объёмы вещества, поступающего соответственно в эндогенном (F-) и экзогенном (D-) литопотоках
Для исследования связи меж механизмами образования фракталов и появления автоколебаний в некой системе, нужно выстроить ее математическую модель. Математической моделью настоящей системы будем считать динамическую систему, понимаемую как отображение S(t,x) фазового места, либо места состояний в себя и задаваемую уравнением вида
. Его решения есть кривые в фазовом пространстве, либо фазовые линии движения.
Как было установлено [4], физическому понятию автоколебаний соответствует математическое понятие предельного цикла. Можно показать, что фазовые линии движения в его округах имеют вид раскручивающихся либо скручивающихся спиралей, схожих изображенной на рис 3, наматывающихся на некую замкнутую кривую, которая и именуется предельным циклом.
Рис. 3. Предельный цикл и спиралевидныая фазовая линия движения
Но эти спирали только стремятся к предельному циклу, нескончаемо близко к нему приближаясь, но не пересекая его.
Таковым образом, предельный цикл самоподобен, а системы зависит от различия F(t)-D(t), динамику геоморфосистем, как и остальных схожих систем, развивающихся на таковых же принципах, можно обрисовывать уравнением:
, (2)
где 
— размеры системы; 
и
— функции, выражающие скорость конфигурации размеров системы.
Если в качестве размеров системы брать размер вещества, заключенного в формах рельефа, а в качестве F- и D-потоков — объемы эндогенного и денудируемоего материала соответственно, получим из (2) последующую систему уравнений, описывающую динамику рельефа [3]:
(3)
где V – размер вещества, заключенного в форме рельефа, м3
; P – размер эндогенного материала, м3
/год; Q – размер денудируемоего материала, м3
/год; к – коэффициент денудации, м3
с м2
/год;
– площадь поверхности формы рельефа с объемом V, м3
;– крутизна формы рельефа, рад.; 
— прирост высоты, м; 
— прирост площади основания единичной ширины, м2
.
Если крутизна форм рельефа, прирост высоты и площадь основания постоянны, то система уравнений (3) линейна, и в ее фазовом пространстве не может существовать предельный цикл. Но с учетом фрактального нрава процесса эрозионного расчленения, система уравнений модели приобретает вид:
(4)
Система уравнений (4) является нелинейной, и в ее фазовом пространстве может существовать предельный цикл [4]. исследование данной модели может быть с внедрением численных способов. Заменяя в (4) дифференциальный оператор разностным, получим последующую разностную схему:
(5)
Результаты расчетов с применением (5) демонстрируют, что положение равновесия системы (4) является неуравновешенным, и фазовые линии движения в его округи имеют вид раскручивающихся спиралей. Потому что расход вещества в эндогенном литопотоке есть конечная величина, а размер денудируемоего материала не быть может меньше нуля, то эти спирали не могут раскручиваться в бесконечность. Они непременно начнут наматываться на некую замкнутую кривую и воспримут вид, схожий изображенному на рис 3.
Таковым образом, в фазовом пространстве системы (4) существует предельный цикл, и в геоморфосистеме, моделью которой она является, могут возникать автоколебания.
Следует выделить, что конкретно вследствие фрактального нрава процесса эрозионного расчленения система (4) становится нелинейной, и сиим обусловливается возможность появления автоколебаний в геоморфосистемах и в целом движение системы к состоянию динамического равновесия. Достигнув его, она, в силу конфигурации баланса расходов вещества в литопотоках, уходит от него, с тем чтоб снова, по истечении некого времени, вернуться. Динамику системы в таком состоянии можно сопоставить с динамикой спиральной пружины маятника в часах – она то сжимается, то разжимается, находясь в данных границах. Применительно к рельфу, этот предел устанавливается F-потоком.
В действительности состояние динамического равновесия никогда не достигается, хотя рвение к нему беспристрастно, оно, можно сказать, имманентно присуще всем целостным самоорганизующимся образованиям.
Литература:
Поздняков А.В. Динамическое равновесие в рельефообразовании. – М.: Наука, 1988. – 207 с.
Поздняков А.В. Стратегия русских реформ . – Томск: Диапазон, 1998. – 324 с.
Поздняков А.В., Лялин Ю.В., Тихоступ Д.М. Формирование поверхности равновесия и фрактальные соотношения в эрозионном расчленении // Самоорганизация геоморфосистем (Пробл. самоорганизации. Вып. 3). – Томск: ТНЦ СО ран, 1996. – С. 36-48.
Понтрягин Л.С. Простые дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1982. – 331 с.
]]>