Учебная работа. Реферат: Дуальные числа
1. Определение дуальных чисел.
Алгебра дуальных чисел появляется удвоением по Кэли алгебры реальных чисел:
Q = D1 + E * D2
С надуманной единицей удвоения E2=0. Дуальное число есть пара реальных чисел, которые именуют его компонентами. Обычно дуальную надуманную единицу обозначают буковкой w. Тогда дуальное число быть может представлено:
В таковой записи дуального числа q его составляющие q0 и q1 именуются реальной (либо главной) и дуальной (либо надуманной) частями соответственно. Таблица произведений единиц базиса дуальных чисел имеет вид:
1
w
1
1
w
w
w
0
Дуальные числа q и p числятся равными, если равны их составляющие:
Дуальное число p равно нулю в случае, если p0=0 и p1=0.
Как и для остальных гиперкомплексных чисел, операции сложения и вычитания для дуальных чисел определяются покомпонентно:
Надуманную часть дуального числа также время от времени именуют моментной частью, а отношение надуманной части к реальной именуют параметром:
, либо
если
2. характеристики дуальных чисел.
В силу определения надуманной единицы w² = 0 для умножения дуальных чисел получаем формулу:
Для деления p/q при q0 ¹ 0 получим:
Для возведения дуального числа в степень справедлива формула:
Для извлечения корня степени n из дуального числа p справедлива формула:
В случае же p0 = 0 операция извлечения корня не определена.
Для параметра дуального числа справедливы два увлекательных соотношения:
Параметр произведения дуальных чисел равен сумме характеристик сомножителей:
Параметр личного 2-ух дуальных чисел равен разности характеристик делимого и делителя:
Потому что для числа p где параметр равен бесконечности и, так как действительная часть произведения равна произведению реальных частей, действительную часть дуального числа принято именовать модулем дуального числа:
При таком выборе определения модуля для дуального числа сохраняется его основное свойство мультипликативности:
Функция и дифференциал функции.
Будем следовать традиционному определению функции как закону отображения области определения в область значений. В случае, если областью определения и областью значений является область дуальных чисел, функцию можно представить покомпонентно:
где f1 и f2 — две вещественные функции 2-ух аргументов.
К основному соотношению в многофункциональном анализе гиперкомплексных чисел относят аналог уравнений Эйлера. Мы также присоединяюсь к этому воззрению в силу чрезвычайной значимости этого соотношения:
и для варианта дуальных чисел имеем:
А именно,
Для простых функций дуального аргумента справедливы соотношения:
Для дифференциала функции дуального аргумента также используем класическое определение дифференциала как разность значений функции до и опосля приращения аргумента:
аналог уравнений Коши-Римана.
В теории функций всеохватывающего переменного необыкновенную значимость имеют аналитические функции, для которых предел дела приращения функции к приращению аргумента не зависит от дела надуманной и реальной частей приращения аргумента. Что на всеохватывающей плоскости иллюстрируется независимостью производной от направления приращения аргумента. Обозначив производную функции f как f’, получим:
В теории конформных отображений этот факт быть может трактован геометрически — угол меж направлением приращения функции и направлением приращения аргумента зависит лишь от точки, в какой взята производная.
Разглядим аналогичное требование для варианта дуального переменного и поглядим, что из этого получится:
Чтоб удовлетворить поставленному ограничению, следует положить равными нулю множители передdx1/dx0. Тогда получим:
Эти соотношения и есть аналог уравнений Коши-Римана для функций дуального переменного. Из первого из этих соотношений вытекает, что функция f0 есть функция лишь переменной x0:
А из второго — выражение для f1
Где (x0)- некая функция лишь 1-го переменного x0.
Таковым образом, общее выражение функции дуального переменного
удовлетворяющее независимости производной от направления приращения аргумента, будет иметь вид:
В случае вещественного x (x1=0) функция будет иметь вид:
Положим, что в общем случае функция дуального переменного зависит также от дуальных характеристик A, B, C, … и определим её при помощи ряда Тейлора, в каком w * x1играет роль приращения и положим равными нулю все члены, содержащие w в степени выше первой.
Сравнив с выражением для функции 1-го переменного, получим:
Действительная часть функции равна функции от реальных частей величин, от которых она зависит. Также из приведенных соотношений можно создать принципиальный вывод, а конкретно: функция дуальной переменной x = x0 +w * x1 на сто процентов определяется функцией от главной части переменной, x0. Отсюда также следует, что если главные части 2-ух функций тождественно равны, то равны и сами эти функции.
Используя соотношения Коши-Римана для функций дуального переменного, можем получить выражение для производной функции f(x):
Таковым образом, дифференцирование по дуальной переменной x сводится к дифференцированию по вещественной переменной x0.
Если некая функция j(x), являющаяся главной частью F(x), тождественно равна
, то отсюда будет следовать, что функция F(x) будет равна df/dx. Дифференцируя равенство
и
по x, на основании равенства
j =
, получим:
Откуда получим:
Если F — функция дуальной переменной x и дуальных характеристик A, B, C, …, то функцию G от тех же величин, тождественно удовлетворяющую уравнению
назовем интегралом от Fdx и обозначим так:
Отсюда следует, что
Таковым образом, в области дуальных чисел сохраняются все аксиомы дифференциального и интегрального исчислений. Приведем главные соотношения для простых функций:
Оператор дифференцирования в области дуальных чисел.
Обратим внимание на форму традиционного определения производной функции:
Тут d/dx — обозначено особое математическое понятие — многофункциональный оператор, либо отображение одной функции (из области определения оператора) на другую (из области значений оператора).
Зададимся вопросцем — можно ли составить аналогичный оператор для функций дуального переменного? Распишем выражение для производной покомпонентно:
Сопоставив с уравнениями Коши-Римана, получим равенство:
Таковым образом, составной оператор дифференцирования функции дуального переменного имеет вид:
Как и следовало ждать, подтверждается тот факт, что функция дуального переменного на сто процентов определяется функцией от главной части переменной:
что в силу критерий Коши-Римана равно:
Отметим, что в отличие от всеохватывающих и паракомплексных чисел, гиперкомплексный оператор дифференцирования в области дуальных чисел не получает множителя 1/2 перед своими компонентами. В области всеохватывающих чисел гиперкомплексный оператор дифференцирования имеет вид:
В области паракомплексных чисел гиперкомплексный оператор дифференцирования имеет вид:
Данный факт разъясняется тем, что для составления полного оператора дифференцирования следует применять разные виды дифференцирования — как по переменной, так и по сопряженной переменной. В случае же дуальных чисел сопряженные числа различаются с числами лишь исходя из убеждений алгебраических операций. Операция же дифференцирования в области функций дуальных чисел такового сопряжения не различает, так как, повторимся снова, функция дуального переменного на сто процентов определяется функцией от главной части переменной.
Перечень литературы
Ф. Диментберг, Винтообразное исчисление, М., 1968
А. Золоторев, Дуальные числа, Л., 1989
Р. Рейнсберг, Квадратичные места над алгеброй дуальных чисел., М., 1975
]]>